factorizacion

FACTORIZACIÓN  (Prof. Ernesto Catari y Prof Javier León)

La factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número compuesto,  una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de otros objetos más pequeños llamados factores, que al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. El objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de bloques fundamentales, que reciben el nombre de factores. En el caso de números debemos utilizar los números primos, por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3x5, el a² –b²   se factoriza como binomios conjugados (a+b)(a-b).

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, para la factorización de polinomios el teorema fundamental del algebra.

CONCEPTOS GENERALES SOBRE LA FACTORIZACIÓN:

¿Qué es factorizar o factorear un polinomio?

Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x² + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).

¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?

Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama "factores". Por ejemplo, en la multiplicación 2 x 3 = 6 , el 2 y el 3 son los "factores".
En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.

¿Para qué sirve factorizar un polinomio?

Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.

¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?

Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma expresión de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar estamos obteniendo una expresión equivalente a la original, pero con distinta forma (de multiplicación). Si luego multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De esta forma estamos haciendo una "verificación". Por ejemplo:

CASOS DE FACTORIZACIÓN:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer término son cuadrados perfectos (o tiene raíz cuadrada exacta) y positivo. Y el segundo término es el doble producto de sus raíces exactas.

Ejemplo. Factorizamos:  16+40x²+25x⁴

Solución.-

16+40x²+25x⁴ = (4+5x²) ²

Raiz cuadrada de 16 es 4

Raíz cuadrada de 25x⁴  es 5x²

Doble producto de estas raíces: 2(4)( 5x²)= 40x², segundo término

Para el resultado, se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio. El binomio así formado, que es ala raíz cuadrada del trinomio se multiplica por sí misma o se eleva al cuadrado.

Ejercicios. Factorizar:

1     1.   a²-10a+25

2   2.  9-6x+x²

3   3.  1+49a²-14a

4   4.   36+12m²+m⁴

5   5.   a⁸+18a⁴+81

6   6.   4x²-12xy+9y²

TRINOMIO DE LA FORMA:  x²+bx+c

Regla práctica:

    

     El trinomio se descompone en dos factores binomio cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2     En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulte de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

    Si los dos factores binomio tiene en el medio signos iguales (distintos) se buscan dos números cuya suma (diferencia) sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio.

4   El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor el segundo término del segundo binomio.

Ejemplo. Factorizamos:  x²+7x+10

Solución.-

 x²+7x+10= (x+5)(x+2)

Ejercicios. Factorizar:

1    1.   x²-5x+6

2    2.   x²+x-2

3    3.    x²+3x-10

4    4.   m²+5m-14

5    5.   m²-6-m

6    6.    m²-20m-300

7    7.   m²-2m-168

8    8.   m²-8m-1008

9    9.   x²+x-132

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

En productos notables, se tiene:

Para que las expresiones algebraicas ordenadas con respecto a una letra sea cubo de un binomio, tiene que cumplir:

1       tener cuatro términos.

2       Que el primero y el último término sean cubos perfectos.

3      Que el segundo término sea más o menos el triple del cuadrado de la raíz cubica del primer término multiplicado por la raíz cubica del último término.

4       Que el tercer término sea más el triple de la raíz cúbica del primer término por la cuadrado de la raíz cúbica del último término.

5       Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y último término, y si los términos son alternativamente positivos y negativos la expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces.

      Ejemplo. Factorizamos:  125x³+1+75x²+15x

Solución.-

125x³+1+75x²+15x = 125x³+75x²+15x+1=(5x+1)³

Raiz cúbica de 125x³ es 5x

Raíz cúbica de 1 es 1

3(5x) ²  (1)= 75x²

3(5x)(1) ²=15x

Cumple las condiciones y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es (5x+1) ³

Ejercicios. Factorizar:

1     

        1.      8+12a²+6a⁴ +a⁶

2    2.      8a³-36a² b+54ab²-27b³

3    3.        27m³+108m²n+144mn²+64n³

4    4.       x³-3x²+3x+1

   

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